Calculadora de Colas

Teoría de colas — Modelos M/M/1 y M/M/1/n

M/M/1
M/M/1/n
📌 ¿Qué es M/M/1?
Cola con llegadas Poisson (tasa λ), servicio exponencial (tasa μ), 1 servidor y capacidad infinita.
Condición de estabilidad: ρ = λ/μ < 1
⚙️ Parámetros
📊 Resultados
Factor de utilización
ρ = λ / μ
Prob. sistema vacío
π₀ = 1 − ρ
Ls — Clientes en sistema
λ / (μ − λ)
Lq — Clientes en cola
λ² / [μ(μ−λ)]
Ws — Tiempo en sistema
1 / (μ − λ)
Wq — Tiempo en cola
Ws − 1/μ
📖 Significado
ρ: fracción del tiempo que el servidor está ocupado.
π₀: probabilidad de encontrar el sistema libre.
Ls: número promedio de clientes en el sistema (cola + siendo atendido).
Lq: número promedio de clientes esperando en cola (sin contar al que se atiende).
Ws: tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema (espera + servicio).
Wq: tiempo promedio de espera en cola. Siempre Wq = Ws − 1/μ.
🔢 Probabilidad de n clientes
πₙ = ρⁿ · (1 − ρ)
📌 ¿Qué es M/M/1/n?
Igual que M/M/1 pero con capacidad máxima n en el sistema.
Los clientes que llegan cuando hay n en el sistema son rechazados.
No requiere ρ < 1 para ser estable. Se usa λ_eff (tasa efectiva de llegada).
⚙️ Parámetros
📊 Resultados
Factor de carga
ρ = λ / μ
Prob. sistema vacío (π₀)
ver abajo
Prob. rechazo (πₙ)
πₙ = ρⁿ · π₀
Tasa efectiva (λ_eff)
λ(1 − πₙ)
Ls — Clientes en sistema
ver casos ρ
Lq — Clientes en cola
Ls − (1 − π₀)
Ws — Tiempo en sistema
Ls / λ_eff
Wq — Tiempo en cola
Ws − 1/μ
📐 Fórmulas utilizadas
π₀ (ρ ≠ 1): (1 − ρ) / (1 − ρⁿ⁺¹)
π₀ (ρ = 1): 1 / (n + 1)
Ls (ρ ≠ 1): ρ/(1−ρ) − (n+1)ρⁿ⁺¹/(1−ρⁿ⁺¹)
Ls (ρ = 1): n / 2
🔢 Distribución de probabilidades
📖 Claves del modelo
πₙ: probabilidad de rechazo — fracción de clientes que no entran al sistema.
λ_eff: tasa real de clientes que ingresan = λ × (1 − πₙ).
Ws y Wq se calculan con λ_eff (no con λ), porque solo los clientes que entran generan tiempos de espera.
Lq = Ls − (1 − π₀): se descuenta la prob. de que el servidor esté ocupado (= fracción de tiempo con alguien siendo atendido).